Tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm : Hướng dẫn đầy đủ các bước

Để mò mẫm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm nhập không khí, tớ rất có thể dùng cách thức tạo nên phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua 3 điểm tiếp tục mang lại. Dưới đấy là quá trình mò mẫm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm:
Bước 1: Xác ấn định 3 điểm tiếp tục nghĩ rằng A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) và C(x₃, y₃, z₃).
Bước 2: Tìm nhì vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì bằng phương pháp tính vector chỉ phương kể từ nhì đoạn trực tiếp AB và AC.
- Vector chỉ phương AB được xem vị tọa chừng (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
- Vector chỉ phương AC được xem vị tọa chừng (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁).
Bước 3: Tìm vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì vị tích vector hóa của nhì vector chỉ phương tiếp tục tìm ra ở bước 2.
- Vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì tính được vị tích vector của AB và AC.
Bước 4: Dùng phương trình tổng quát tháo của mặt mũi phẳng lì nhằm ghi chép phương trình mặt mũi phẳng lì tiếp tục tìm ra.
Phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua 3 điểm A, B và C sẽ có được dạng ax + by + cz + d = 0, nhập cơ a, b, c và d là những thông số cần thiết mò mẫm.
Chúng tớ cần thiết mò mẫm vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì nhập bước 3, kể từ cơ tớ bịa a = x, b = nó, c = z và d = -ax₁ - by₁ - cz₁ để sở hữu phương trình mặt mũi phẳng lì.
Qua quá trình bên trên, tất cả chúng ta tiếp tục tìm ra phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm tiếp tục mang lại nhập không khí.

Bạn đang xem: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm : Hướng dẫn đầy đủ các bước

Để mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm nhập không khí Oxyz, tớ dùng công thức phương trình mặt mũi phẳng lì công cộng. Thứ nhất, tớ bố trí những điểm đó theo đòi trật tự A, B và C. Sau cơ, tất cả chúng ta rất có thể ghi chép công thức như sau:
1. Gọi A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) và C(x3, y3, z3) là tọa chừng của tía điểm.
2. Ta lập những vector AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) và AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1).
3. Tính tích vector của AB và AC bằng phương pháp lấy ấn định thức của yêu tinh trận 3x3 với những sản phẩm là vector AB và AC.
4. Gọi phương trình mặt mũi phẳng lì cần thiết mò mẫm là Ax + By + Cz + D = 0. Ta dành được thông số A, B và C kể từ tích vector ở bước 3.
5. Để mò mẫm thông số D, tớ lựa lựa chọn 1 trong tía điểm (ví dụ điểm A) và thay cho nhập phương trình mặt mũi phẳng lì, tiếp sau đó giải phương trình nhằm mò mẫm D.
Ví dụ, nhằm mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A(1, -2, 0), B(x2, y2, z2) và C(x3, y3, z3), tớ thực hiện như sau:
1. Gọi A(1, -2, 0), B(x2, y2, z2) và C(x3, y3, z3) là tọa chừng của tía điểm.
2. Lập những vector AB và AC: AB = (x2 - 1, y2 + 2, z2 - 0); AC = (x3 - 1, y3 + 2, z3 - 0).
3. Tính tích vector của AB và AC bằng phương pháp tính ấn định thức yêu tinh trận: (AB x AC) = (x2 - 1)(y3 + 2) - (x3 - 1)(y2 + 2) + [(x2 - 1)(z3 - 0) - (x3 - 1)(z2 - 0)] + [(y2 + 2)(z3 - 0) - (y3 + 2)(z2 - 0)].
4. Gọi phương trình mặt mũi phẳng lì cần thiết mò mẫm là Ax + By + Cz + D = 0. Ta dành được thông số A, B và C kể từ tích vector ở bước 3.
5. Lựa lựa chọn 1 trong tía điểm (ví dụ A(1, -2, 0)) và thay cho nhập phương trình: A + B*(-2) + C*0 + D = 0. Giải phương trình này nhằm mò mẫm thông số D.
Thông qua chuyện quá trình bên trên, tớ rất có thể tìm ra phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm nhập không khí Oxyz.

Để màn biểu diễn phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1; -2; 0), B(...), C(...), tớ cần thiết thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm 2 vector phía trên mặt mũi phẳng lì. Ta rất có thể lựa chọn 2 vector là AB và AC.
Bước 2: Tính vector pháp tuyến bằng phương pháp lấy tích vector của AB và AC. Ta đem vector pháp tuyến ở trong mặt mũi phẳng lì.
Bước 3: Viết phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua điểm A và đem vector pháp tuyến tiếp tục tính được ở bước trước.
Ví dụ: Giả sử điểm A là (1; -2; 0), điểm B là (2; 3; 1), và điểm C là (0; 1; 2).
Bước 1: Tìm vector AB và AC:
- Vector AB = (2-1; 3-(-2); 1-0) = (1; 5; 1)
- Vector AC = (0-1; 1-(-2); 2-0) = (-1; 3; 2)
Bước 2: Tính vector pháp tuyến:
- Vector pháp tuyến = AB x AC = ((5*2)-(1*3); (1*(-1))-(5*2); (1*3)-(1*(-1))) = (7; -11; -1)
Bước 3: Viết phương trình mặt mũi phẳng:
- Từ cơ, phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua điểm A và đem vector pháp tuyến là (7; -11; -1) rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng:
7(x-1) - 11(y-(-2)) - 1(z-0) = 0
7x - 7 + 11y + 22 - z = 0
7x + 11y - z + 15 = 0
Vậy, này đó là màn biểu diễn phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1; -2; 0), B(...), C(...) dựa vào quá trình bên trên.

Để mò mẫm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm tiếp tục mang lại, tất cả chúng ta rất có thể dùng cách thức bịa hệ phương trình.
Giả sử tớ tiếp tục biết 3 điểm A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) và C(c1, c2, c3) là 3 điểm tiếp tục mang lại.
Để xác lập phương trình mặt mũi phẳng lì, tớ cần thiết mò mẫm vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì. Để thực hiện điều này, tớ dùng công thức sau:
n = AB x AC
Trong cơ, AB là vector nối nhì điểm A và B, AC là vector nối nhì điểm A và C. x là quy tắc nhân vectơ.
Sau khi tìm ra vectơ pháp tuyến n, tớ dùng công thức phương trình mặt mũi phẳng lì công cộng (hay phương trình điểm - vectơ pháp tuyến) nhằm xác lập phương trình mặt mũi phẳng:
n · (r - A) = 0
Trong cơ, n là vectơ pháp tuyến, r là một trong những điểm bên trên mặt mũi phẳng lì, A là một trong những điểm tiếp tục biết bên trên mặt mũi phẳng lì.
Từ phương trình bên trên, tớ rất có thể tìm ra phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm tiếp tục mang lại.
Hi vọng rằng vấn đề này hữu ích và giúp cho bạn mò mẫm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm tiếp tục mang lại.

Để mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A(1; -2; 0), B(...), C(...), tất cả chúng ta cần dùng công thức phương trình mặt mũi phẳng lì công cộng. Công thức phương trình mặt mũi phẳng lì công cộng được màn biểu diễn như sau:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong cơ, (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì và (x, nó, z) là một trong những điểm nên phía trên mặt mũi phẳng lì.
Để xác lập những thông số A, B, C, D, tất cả chúng ta dùng những điểm tiếp tục mang lại muốn tạo trở nên hệ phương trình.
Điểm A(1; -2; 0):
1A - 2B + 0C + D = 0
Điểm B(...):
...
Điểm C(...):
...
Sau khi đem đầy đủ những hệ phương trình, tất cả chúng ta giải hệ phương trình nhằm mò mẫm những độ quý hiếm của A, B, C, D. Khi tiếp tục tìm ra những độ quý hiếm này, tớ rất có thể màn biểu diễn phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B, C.

Để mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B, C, tớ rất có thể dùng cách thức sau:
Bước 1: Xác ấn định nhì vectơ u và v nhập mặt mũi phẳng lì kể từ tía điểm A, B, C. Ta rất có thể lấy nhì vectơ u và v dựa vào toạ chừng của những điểm cơ bằng phương pháp tính hiệu của những vectơ AB và AC. Ví dụ:
u = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
v = C - A = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến n của mặt mũi phẳng lì bằng phương pháp tính tích đem vị trí hướng của nhì vectơ u và v. Ta có:
n = u x v = (u.nó * v.z - u.z * v.y, u.z * v.x - u.x * v.z, u.x * v.nó - u.nó * v.x)
Bước 3: Viết phương trình mặt mũi phẳng lì bằng phương pháp dùng công thức tổng quát tháo của một phía phẳng lì. Phương trình mặt mũi phẳng lì sẽ có được dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó:
A, B, C là những bộ phận của vectơ pháp tuyến n.
D là độ quý hiếm sẽ tiến hành xác lập bằng phương pháp thay cho toạ chừng của 1 trong tía điểm A, B, C nhập phương trình mặt mũi phẳng lì.
Với những độ quý hiếm A, B, C, D tiếp tục xác lập, tớ tiếp tục tìm ra phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B, C.

Để mò mẫm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B và C nhập không khí Oxyz, tớ dùng cách thức bịa hệ và giải hệ phương trình.
Gọi phương trình mặt mũi phẳng lì cần thiết mò mẫm là (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Ta lập 3 phương trình với A, B, C, D là những số thực không biết nhằm mục đích bịa hệ phương trình:
1. Với điểm A(x1, y1, z1):
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
2. Với điểm B(x2, y2, z2):
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0
3. Với điểm C(x3, y3, z3):
Ax3 + By3 + Cz3 + D = 0
Lập hệ phương trình bao gồm 3 phương trình bên trên, tớ có:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0
Ax3 + By3 + Cz3 + D = 0
Giải hệ phương trình này nhằm mò mẫm rời khỏi những độ quý hiếm của A, B, C và D.
Sau khi tìm ra A, B, C và D, phương trình mặt mũi phẳng lì (P) trải qua 3 điểm A, B và C sẽ tiến hành xác lập.
Ví dụ minh họa:
Giả sử tớ đem 3 điểm A(1, -2, 0), B(3, 4, 5) và C(-1, 3, 2). Ta tiếp tục lập hệ phương trình như sau:
A + 2B + 0C + D = 0
3A + 4B + 5C + D = 0
-A + 3B + 2C + D = 0
Giải hệ phương trình bên trên, tớ tìm ra những độ quý hiếm A = -1, B = 3/2, C = một nửa và D = -1/2.
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B và C là -x + (3/2)y + (1/2)z - một nửa = 0.

Để mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua một điểm M và đem vector pháp tuyến là (a, b, c), tớ rất có thể dùng công thức phương trình mặt mũi phẳng lì tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong cơ, (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì và (x, nó, z) là một trong những điểm nằm trong mặt mũi phẳng lì.
Để xác lập phương trình mặt mũi phẳng lì rõ ràng, tớ rất có thể dùng điểm M nhằm mò mẫm độ quý hiếm D. Vì điểm M nằm trong mặt mũi phẳng lì, nên tớ thay cho độ quý hiếm của M nhập phương trình tớ có:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Để xác lập giá tốt trị của D, tớ rất có thể dùng vector pháp tuyến và điểm M:
A*xm + B*ym + C*zm + D = 0
Với (xm, ym, zm) là tọa chừng của điểm M. Từ cơ, tớ rất có thể giải phương trình bên trên nhằm mò mẫm độ quý hiếm của D.
Sau khi dành được độ quý hiếm của A, B, C và D, tớ rất có thể màn biểu diễn phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua điểm M và đem vector pháp tuyến là (a, b, c) theo đòi công thức:
(a*x + b*y + c*z) + D = 0

Để ghi chép phương trình của một phía phẳng lì trải qua một điểm M(x0; y0; z0) và đem vector pháp tuyến là a = ai + bj + ck, tớ vận dụng công thức phương trình mặt mũi phẳng lì công cộng của một phương trình tổng quát tháo Ax + By + Cz + D = 0.
1. Ta cần thiết mò mẫm những thông số A, B, C và D.
2. Vì vector pháp tuyến và được nghĩ rằng a = ai + bj + ck, tớ đem A = a, B = b, C = c.
3. Để mò mẫm thông số D, tớ thay cho nhập phương trình tổng quát tháo x0, y0 và z0 vị tọa chừng của điểm M(x0; y0; z0). Ta đem A*x0 + B*y0 + C*z0 + D = 0. Giải phương trình này nhằm mò mẫm thông số D.
4. Cuối nằm trong, ghi chép phương trình mặt mũi phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A, B, C và D tiếp tục tìm ra.
Ví dụ:
Giả sử tớ cần thiết mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua điểm M(1; 2; 3) và đem vector pháp tuyến là a = 2i - 3j + 4k.
1. Tìm thông số A, B, C và D:
A = 2, B = -3, C = 4.
2. Thay x0, y0 và z0 nhập phương trình tổng quát: 2*1 - 3*2 + 4*3 + D = 0.
3. Giải phương trình bên trên nhằm mò mẫm thông số D. Giả sử D = 5.
4. Viết phương trình mặt mũi phẳng: 2x - 3y + 4z + 5 = 0.
Vậy, phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua điểm M(1; 2; 3) và đem vector pháp tuyến a = 2i - 3j + 4k là 2x - 3y + 4z + 5 = 0.

Xem thêm: Săn vé 0 đồng của Vietjet Air chỉ trong 3 phút

Để mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B và C nhập không khí Oxyz, tất cả chúng ta rất có thể tuân theo quá trình sau:
Bước 1: Xác ấn định những vectơ chỉ phương kể từ điểm A tới điểm B và kể từ điểm A tới điểm C. Ta rất có thể tính những vectơ này bằng phương pháp lấy hiệu của tọa chừng của điểm loại nhì trừ điểm trước tiên, tức là:
- Vectơ AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
- Vectơ AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)
Bước 2: Lấy tích vô vị trí hướng của nhì vectơ vừa vặn tính được ở bước trước nhằm mò mẫm vectơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì. Ta đem công thức tính tích vô vị trí hướng của nhì vectơ nhập ko gian:
- Vectơ pháp tuyến: N = AB × AC = (yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA), (zB - zA)(xC - xA) - (xC - xA)(zB - zA), (xC - xA)(yB - yA) - (yC - yA)(xC - xA)
Bước 3: Sử dụng phương trình của mặt mũi phẳng lì công cộng dạng tổng quát tháo là Ax + By + Cz + D = 0. Chúng tớ rất có thể xác lập những thông số A, B, C và D bằng phương pháp dùng vectơ pháp tuyến và 1 trong tía điểm (A, B hoặc C). Thay tọa chừng của điểm nhập phương trình và giải hệ phương trình tuyến tính nhằm mò mẫm những thông số. Ví dụ, xét điểm A:
- A(xA, yA, zA) ⇒ AxA + ByA + CzA + D = 0
- Thay vectơ pháp tuyến N nhập, tớ đem phương trình:
(yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA) * xA + (zB - zA)(xC - xA) - (xC - xA)(zB - zA) * yA + (xC - xA)(yB - yA) - (yC - yA)(xC - xA) * zA + D = 0
Bước 4: Giải phương trình tuyến tính nhằm mò mẫm độ quý hiếm của D.
Vậy, phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B và C là:
(yB - yA)(zC - zA) - (zB - zA)(yC - yA) * x + (zB - zA)(xC - xA) - (xC - xA)(zB - zA) * nó + (xC - xA)(yB - yA) - (yC - yA)(xC - xA) * z + D = 0
Hy vọng vấn đề bên trên tiếp tục giúp cho bạn hiểu cơ hội mò mẫm phương trình mặt mũi phẳng lì trải qua tía điểm A, B và C nhập không khí Oxyz.