Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

I. Lý thuyết
Cho hình trụ sở hữu độ cao h, nửa đường kính lòng là R.
\(S_{xq}=2\pi .R.h\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\)

II. Bài tập
Ví dụ 1: Tính diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của hình trụ, sở hữu độh nhiều năm lối tròn trĩnh lòng là 8 centimet, khoảng cách thân thích 2 lòng là 5 centimet.

Bạn đang xem: Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

Giải
\(2R=8cm\Rightarrow R=4cm\)
Chiều cao h vì chưng khoảng cách thân thích nhị lòng vì chưng 5 cm
\(S_{xq}=2\pi .R.h=2\pi .4.5=40\pi (cm^2)\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=40\pi+2 \pi.4^2=72\pi (cm^2)\)
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, sở hữu AB=3cm, AD = 4cm. Tính S_xq, S_tp của hình trụ tạo nên trở nên khi cho tới lối bộp chộp khúc.
a) ABCD xoay quanh AB
b) BADC xoay quanh BC.
Giải

a) 
Khi cho tới lối bộp chộp khúc ADCB xoay quanh AB tao được hình trụ sở hữu độ cao h₁ = AB = 3 (cm)
Bán kính hình trụ lòng là R₁ = 4 cm
\(S_{xq}=2\pi .R_1.h_1=2\pi .4.3=24\pi (cm^2)\)

\(S_{tp}=2\pi .R_1.h_1+2\pi R_1^2=24\pi+32 \pi=56\pi (cm^2)\)
b)
Khi cho tới lối bộp chộp khúc BADC xoay quanh BC tao được hình trụ sở hữu chiều cao \(h_2=BC=AD=4(cm)\)
bán kính hình trụ đáy \(R_2=AB=3(cm)\)

\(S_{xq}=2\pi .R_2.h_2=2\pi .3.4=24\pi (cm^2)\)

Xem thêm: Đại lý vé máy bay giá rẻ tại huyện Trà Ôn

\(S_{tp}=2\pi .R_2.h_2+2\pi R_2^2=24\pi+18 \pi=42\pi (cm^2)\)
Nhận xét: Cho hình chữ nhật ABCD sở hữu AB = k.AD.
Gọi S₁, S₂ l³ diện tích S xung xung quanh của hình trụ tạo nên trở nên khi cho tới lối bộp chộp khúc ADCB xoay quanh AB, BADC xoay quanh BC. Tính \(\frac{S_1}{S_2}\)

Xem thêm: Các bước vệ sinh máy giặt lồng đứng và lồng ngang tại nhà, không cần thợ

Giải
\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi AD.AB+2\pi AD^2}{2\pi AB.AD+2\pi AB^2}\)
\(=\frac{2\pi .k.AD^2+2\pi AD^2}{2\pi .k.AD+2\pi.k.AD^2}=\frac{k+1}{k+k^2}=\frac{1}{k}\)

Ví dụ 3: Cho vỏ hộp hình trụ rất có thể tích là V. Tìm nửa đường kính nhằm nguyên vật liệu dùng để vỏ vỏ hộp là tối thiểu.
Giải
Gọi nửa đường kính hình trụ là R, độ cao h, tao có:
\(V=\pi .R^2.h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi.R^2 }\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=2\pi R.\frac{V}{\pi R^2}+2\pi R^2\)
\(=\frac{2V}{R}+2\pi R^2=f(R)\)
\(f'(R)=-\frac{2V}{R^2}+4\pi R\)
\(f'(R)=0\Leftrightarrow 4\pi R^3=2V\)
\(\Leftrightarrow R^3=\frac{V}{2\pi }\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)

\(f(R)_{min}=f\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
\(S_{tp_{min}}\Leftrightarrow R=\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
Cách 2:
\(S_{tp}=\frac{V}{R}+\frac{V}{R}+2\pi R^2\geq 3.\sqrt[3]{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi R^2} =3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\)
\(S_{tp_{min}}=3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\Leftrightarrow \frac{V}{R}=2\pi .R^2 \Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)