Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

1. Khái niệm vẹn toàn hàm lnx

Ta với hàm số $f(x)$ xác lập bên trên K. Hàm số $f(x)$ đó là vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)$ bên trên K nếu như $f'(x)=f(x)$ với $x\in K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ tiến hành tính như sau:

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{matrix}\right.$

Ta có $\int lnxdx=xlnx-\int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta với bảng công thức nguyên hàm In x và một vài vẹn toàn hàm cơ bạn dạng thông thường gặp gỡ.

3. Cách tính vẹn toàn hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $\int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, nhập bại liệt a, b, c là những số vẹn toàn. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt  $\left\{\begin{matrix}u=ln(x+1)\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1 \end{matrix}\right.$

Lúc này tao có:

$\int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$\Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải: 

B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd(\frac{x^{3}}{3})$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.\frac{dx}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm đầy đủ kiến thức và kỹ năng về vẹn toàn hàm và những kiến thức và kỹ năng Toán thi đua trung học phổ thông Quốc Gia không giống với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm J=$\int \frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$\int \frac{lnx+1}{x(\frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt t=$\frac{lnx+1}{x}\Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=\int \frac{tdt}{(t+1)^{3}}=\int [\frac{1}{(t+1)^{3}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

=$-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$

=$-\frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=2^{x}dx\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\v=\frac{2^{x}}{ln2}. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2xdx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Suy đi ra tao có $\int f(x)dx=(x2-1)ex-\int 2x.ex$ dx

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=2x\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2dx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Tìm toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

B. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

C. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=(3x^{2}+1)dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=\int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=(x^{3}+x)lnx-\int (x^{3}+x)\frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-\int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đích thị với từng số thực khi?

Giải:

Ví dụ 2: Tính vẹn toàn hàm:

a) $\int 2xln(x-1)dx$

b) $\int \frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(x-1)\\dv=2xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x-1}dx\\v=x^{2}-1 \end{matrix}\right.$

Ta có $\int 2xln(x-1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\frac{x^{2}}{2}-x+C$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{(1+x)}dx\\v=-\frac{1}{x}-1=-\frac{1+x}{x} \end{matrix}\right.$

=> $F(x)=-\frac{1+x}{x}.ln(1+x)+\int \frac{1}{x}dx$

= $-\frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2:

Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là những số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$\frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$\frac{-9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta với I=$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Xem thêm: 8 Cách tải nhạc miễn phí về điện thoại, máy tính nhanh và đơn giản

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{1+x}dx\\v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$

Khi bại liệt I=$-\frac{1}{x}ln(1+x)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.+\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{1}{2}ln3+ln2+\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx$

=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+(ln\frac{x}{x+1})\left|\begin{matrix}2\\1 \end{matrix}\right.=-\frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$

Suy đi ra a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có: 

y’= $-\frac{1}{x^{2}}+\frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$

=$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-\frac{ln(x)}{x^{2}}$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5. 

Lúc đó:

A. $a+b+c=\frac{5}{3}$

B. $a+b+c=\frac{4}{3}$

C. $a+b+c=\frac{7}{3}$

D. $a+b+c=\frac{8}{3}$

Giải:

Đặt t = $\sqrt{3x+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$

Đổi cận

Ta với I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{1+t}.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{t}{t+1}dt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}(1-\frac{1}{t+1})dt=\frac{2}{3}(t-ln|1+t|)\left|\begin{matrix}4\\2 \end{matrix}\right.=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}ln3-\frac{2}{3}ln5$

Do đó $a=\frac{4}{3};b=\frac{2}{3};c=-\frac{2}{3}$

Vậy $a+b+c=\frac{4}{3}$

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là những số vẹn toàn. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=$\sqrt{e^{x}+3}\Rightarrow t^{2}=e^{x}+3\Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x=ln6\\x=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
t=3\\t=2 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=\int_{2}^{3}\frac{2tdt}{1+t}dt=(2t-2ln|t+1|)\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\\c=2 \end{matrix}\right.$

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính vẹn toàn hàm $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$ được thành quả này sau đây?

Ví dụ 1: Tính vẹn toàn hàm của hàm số  I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$

Suy đi ra I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx=\int lntdt$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnt\\dv=dt \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{dt}{t}\\v=t \end{matrix}\right.$

Theo công thức tính vẹn toàn hàm từng phần tao có:

I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $\in Z$. Khẳng ấn định này tại đây đích thị.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta với I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx, bịa đặt lnx+2=t => \frac{dx}{x}=dt$

I=$\int_{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int_{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$

=$lnt\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.+\frac{2}{t}\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$

Suy đi ra a=1;b=-1;c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh bại liệt, thầy Trường Giang đã với bài xích giảng vô cùng hoặc về vẹn toàn hàm tích phân với những tip giải bài xích luyện vô cùng hữu ích nhằm giải đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia. Các em nằm trong coi nhập đoạn phim tiếp sau đây nhé!

Nắm đầy đủ bí mật đạt 9+ thi đua Toán đảm bảo chất lượng nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Xem thêm: Vé máy bay đi Pháp khứ hồi giá rẻ nhất tại ABAY.vn

Sau nội dung bài viết này, kỳ vọng những em vẫn cầm dĩ nhiên được toàn cỗ lý thuyết, công thức về vẹn toàn hàm Inx, kể từ bại liệt áp dụng hiệu suất cao nhập bài xích luyện. Để đạt thêm nhiều kiến thức và kỹ năng hoặc em hoàn toàn có thể truy vấn tức thì Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ để sở hữu được kiến thức và kỹ năng cực tốt sẵn sàng mang lại kỳ thi đua ĐH sắp tới đây nhé!

>> Xem thêm:

• Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
• Đầy đầy đủ và cụ thể bài xích luyện phương trình logarit với điều giải
• Tuyển luyện lý thuyết phương trình logarit cơ bản