Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập

Tam giác cân nặng là một trong những loại tam giác với tối thiểu nhị cạnh cân nhau và nhị góc ở lòng thăng bằng nhau.

Tam giác cân nặng là một trong những mô hình học tập trọng tâm vô lịch trình Toán 7. Tính hóa học quan trọng đặc biệt của tam giác cân nặng là nhị cạnh mặt mày cân nhau và nhị góc ở lòng cũng cân nhau. Chính vì vậy đưa đến một sự bằng vận và thích mắt vô hình học tập. Vậy công thức tính diện tích S tam giác cân nặng như vậy nào? Tính hóa học tam giác cân nặng là gì? Mời chúng ta nằm trong theo gót dõi nội dung bài viết tiếp sau đây của Download.vn. Hình như chúng ta coi thêm thắt tài liệu: phương pháp vẽ hình chiếu, tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác.

Bạn đang xem: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập

Tam giác cân là tam giác với nhị cạnh cân nhau, nhị cạnh này được gọi là nhị cạnh mặt mày. Đỉnh của một tam giác cân nặng là uỷ thác điểm của nhị cạnh mặt mày. Góc được tạo ra bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, nhị góc còn sót lại gọi là góc ở lòng.

Ở hình bên trên, tam giác ABC với AB = AC suy đi ra tam giác ABC cân nặng.

Có AB và AC là nhị cạnh mặt mày nên tam giác ABC cân nặng bên trên đỉnh A.

Tính hóa học 1: Trong một tam giác cân nặng nhị góc ở lòng cân nhau.

Tính hóa học 2: Một tam giác với nhị góc cân nhau thìa là tam giác cân nặng.

Tính hóa học 3: Trong một tam giác cân nặng, lối trung trực ứng với cạnh lòng mặt khác là lối phân giác, lối trung tuyến, lối cao của tam giác cơ.

Tính hóa học 4: Trong một tam giác, nếu như với cùng 1 lối trung tuyến mặt khác là lối trung trực thì tam giác là tam giác cân nặng.

Diện tích tam giác thăng bằng Tích của độ cao nối kể từ đỉnh tam giác cơ cho tới cạnh lòng tam giác, tiếp sau đó phân chia cho tới 2.

– Cách 1: Chứng minh tam giác cơ với nhị cạnh cân nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác cơ với nhị góc cân nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC với Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân nặng.

+ Chứng minh Theo phong cách 1:

Theo bài xích đi ra, tao có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân nặng bên trên A

+ Chứng minh Theo phong cách 2:

Theo bài xích đi ra, tao có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân nặng bên trên A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Lấy điểm D nằm trong cạnh AC, điểm E nằm trong cạnh AB sao cho tới AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là uỷ thác điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân nặng bên trên A (giả thiết)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} AB = AC \hspace{0,2cm} \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \hspace{0,2cm}\end{array} \right.$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

$\widehat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh - góc - cạnh)

⇒ $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

$\begin{align*}\widehat{IBC} &= \widehat{ABC} - \widehat{ABD} \\&= \widehat{ACB} - \widehat{ACE} \hspace{0,2cm} (\text{vì} \widehat{ABC} = \widehat{ACB}; \widehat{ABD} = \widehat{ACE}) \\&= \widehat{ICB}\end{align*}$

⇒ ΔIBC cân nặng bên trên I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A và những điểm E, F thứu tự phía trên những cạnh AC, AB sao cho tới BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Bài 4.23

Gợi ý đáp án:

Do tam giác ABC cân nặng bên trên A nên: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (tính hóa học tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

BC chung

$=>\Delta BFC = \Delta CEB$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A và M là trung điểm của đoạn trực tiếp BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.24

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân nặng bên trên A)

MB=MC (gt)

$\Rightarrow \Delta AMB=AMC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {CBM}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là phân giác của góc BAC

Mặt khác: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$ (2 góc tương ứng) tuy nhiên $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$ (2 góc kề bù)

Nên: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}$ .

Vậy AM vuông góc với BC.

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn trực tiếp BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nặng bên trên A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nặng bên trên A.

Gợi ý đáp án:

Bài 4.25

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

$=>\Delta AMB = \Delta AMC (c.g.c)$

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân nặng bên trên A

Bài 4.25

Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm trong AB)

MG vuông góc với AC (G nằm trong AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

$\widehat {HAM} = \widehat {GAM}$

AM chung

$=>\Delta AHM = \Delta AGC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

$=>\Delta BHM = \Delta CGM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$=>\widehat {BMH} = \widehat {CMH}$ (2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân nặng bên trên A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông với nhị cạnh cân nhau được gọi là tam giác vuông cân nặng.

Hãy lý giải những xác minh sau:

a) Tam giác vuông cân nặng thì cân nặng bên trên đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân nặng với nhị góc nhọn bởi 45°;

c) Tam giác vuông với cùng 1 góc nhọn bởi 45° là tam giác vuông cân nặng.

Gợi ý đáp án:

a) Do tổng tía góc trong một tam giác bởi 180 phỏng nên tam giác ko thể với 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân nặng sẽ sở hữu 2 góc nhọn bởi nhau

=> Tam giác vuông cân nặng thì cân nặng bên trên đỉnh góc vuông.

b) Giả sử nhị góc nhọn vô tam giác vuông là x, tao có:

$\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}$

Vậy tam giác vuông cân nặng với nhị góc nhọn bởi 45°.

c) Gọi góc còn sót lại của tam giác vuông có một góc nhọn bởi 45° là x, tao có:

$x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}$

Vậy tam giác vuông với cùng 1 góc nhọn bởi 45° là tam giác vuông cân nặng.

Ví dụ 7

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $\widehat{DEF}$ .

Chứng minh rằng:

a. $\Delta EID = \Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân nặng.

Hình 14

Gợi ý đáp án:

a. Xét $\Delta EID$ và $\Delta EIF$ có:

EI chung

$\widehat{DEI} = \widehat{IEF}$

DE = EF.

$\Rightarrow \Delta EID = \Delta EIF (c.g.c)$

b. Vì $\Delta EID = \Delta EIF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ID = IF$

$\Rightarrow$ Tam giác DIF cân nặng bên trên I.

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A với $\widehat{A} = 56^{0}$

Hình 15

a. Tính $\widehat{B}, \widehat{C}$ .

b. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân nặng.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Gợi ý đáp án:

a. Vì tam giác ABC cân nặng bên trên A $\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}$

b. Vì M, N thứu tự là trung điểm của AB, AC nên $AM = MB = \frac{AB}{2}, AM = MC = \frac{AC}{2}$

mà AB = AC ( vì thế $\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow AM = AN$

$\Rightarrow$ Tam giác AMN cân nặng bên trên A.

c. Xét $\Delta AMN$ cân nặng bên trên A có: $\widehat{AMN} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

Xét $\Delta ABC$ cân nặng bên trên A có: $\widehat{ABC} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ABC}$

Mà 2 góc này ở địa điểm đồng vị

$\Rightarrow MN // BC$ .

Xem thêm: Lời bài hát Chắc Ai Đó Sẽ Về (Sơn Tùng)

6. Bài tập luyện tam giác cân nặng với đáp án

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều phải có tía góc cân nhau va vấp bởi 60°

B. Tam giác đều phải có tía cạnh cân nhau.

C. Tam giác cân nặng là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân nặng.

Gợi ý

Tam giác đều là tam giác với tía cạnh bởi nhau

Trong tam giác đều, từng góc bởi 60°

Tam giác đều cũng chính là tam giác cân nặng tuy nhiên tam giác cân nặng ko chắc chắn rằng tam giác đều

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân nặng bằng

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông thăng bằng 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A. Chọn tuyên bố sai

$A. \widehat{B}=\widehat{C}$

$B. \widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

$C. \hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$

$D. \hat{B} \neq \widehat{C}$

Gợi ý

Do tam giác ABC cân nặng bên trên A nên ∠B = ∠C

Do cơ đáp án D sai

Chọn đáp án D.

Bài 4: Một tam giác cân nặng với góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc lòng bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý

Góc ở đỉnh là $\widehat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ , góc ở lòng là $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở lòng là: $\frac{180^{\circ}-64^{\circ}}{2}=58^{\circ}$

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân nặng với góc ở lòng bởi 70° thì góc ở đỉnh bởi bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

Góc ở đỉnh là $\hat{A}=180^{\circ}-2 \widehat{C}$ góc ở lòng là $\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}$

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° - 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Bài 6: Trong những đáp án tiếp sau đây đáp án nào là sai

A. Tam giác đều phải có tía góc cân nhau và từng góc bởi 60°

B. Tam giác đều là tam giác với tía cạnh bởi nhau

C. Tam giác cân nặng là tam giác đều

D. Tam giác đều là tam giác cân nặng quan trọng đặc biệt.

Đáp án đúng: C. Tam giác cân nặng là tam giác đều- đấy là một xác minh sai

Giải thích:

- Tam giác đều là tam giác với tía cạnh cân nhau và tía góc đều cân nhau, từng góc có tính rộng lớn 60° (π/3 radian). Tam giác cân nặng là tam giác với nhị cạnh cân nhau và nhị góc bên trên nhị đỉnh cân nặng có tính rộng lớn cân nhau.

- Tam giác đều rất có thể xem như là một tình huống quan trọng đặc biệt của tam giác cân nặng, vì thế tam giác đều không chỉ là với nhị cạnh cân nhau tuy nhiên còn tồn tại tía cạnh cân nhau. Nhưng tam giác cân nặng ko nhất thiết nên với tía cạnh cân nhau, nó chỉ cần phải có nhị cạnh cân nhau.

Vậy, đáp án C là sai. Tam giác cân nặng ko nên là tam giác đều, tuy nhiên chỉ là một trong những loại tam giác với nhị cạnh cân nhau.

Bài 7: Dựa vô điểm lưu ý của tam giác cân nặng, nên chọn đáp án đúng

Tam giác cân nặng là một trong những tam giác đem điểm lưu ý là:

A. với hai tuyến đường cao vô tam giác bởi nhau

B. hai tuyến đường trung tuyến có tính nhiều năm bởi nhau

C. với nhị cạnh mặt mày bởi phỏng nhiều năm với nhau

D. với nhị tia phân giác vô nằm trong số đo

Đáp án đúng: C. Tam giác cân nặng là một trong những tam giác với nhị cạnh mặt mày bởi phỏng nhiều năm với nhau

Giải thích:

Tam giác cân nặng là tam giác với nhị cạnh cân nhau và nhị góc ở đỉnh thăng bằng nhau. Như vậy đồng nghĩa tương quan với việc tam giác cân nặng với nhị cạnh mặt mày (hai cạnh với đỉnh chung) có tính nhiều năm cân nhau.

Các đáp án không giống ko trúng với khái niệm của tam giác cân:

A. Hai lối cao của tam giác cân nặng ko nhất thiết nên cân nhau. Đường cao là đoạn trực tiếp nối một đỉnh của tam giác với đối lập với cạnh đối lập đỉnh cơ.

B. Hai lối trung tuyến của tam giác cân nặng ko nhất thiết nên cân nhau. Đường trung tuyến là đoạn trực tiếp nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối lập đỉnh cơ.

D. Hai tia phân giác vô của tam giác cân nặng ko nhất thiết nên cân nhau. Tia phân giác vô là tia bắt đầu từ một đỉnh của tam giác và phân chia song góc bên trên đỉnh cơ.

Bài 8 Chọn đáp án trúng trong số đáp án sau, biết Tam giác ABC cân nặng bên trên A, hiểu được số đo góc B là 50^o, vậy số đo những góc còn sót lại của tam giác ABC vẫn cho tới là:

A. Góc A = 50^o, Góc C = 80^o

B. Góc A = 80^o, Góc C = 50^o

C. Góc A = 40^o, Góc C = 90^o

D. Góc A = 90^o, Góc C = 40^o

Đáp án đúng: B- Số đo những góc còn sót lại vô tam giá chỉ cân nặng ABC là Góc A = 80^o và Góc C = 50^o

Giải thích:

Tam giác ABC là tam giác cân nặng bên trên A, tức là AB = AC và góc bên trên đỉnh A có tính rộng lớn là 50^o (theo ĐK vô câu hỏi).

Vì ABC là tam giác cân nặng nên góc B và góc C (góc ở nhị đỉnh chân) có tính rộng lớn cân nhau.

Vì tổng tía góc vô tam giác là 180^o, tao có:

Góc B + Góc A + Góc C = 180^o

50° + Góc A + Góc C = 180^o

Do đó: Góc A + Góc C = 180^o- 50^o= 130^o

Từ cơ suy đi ra, số đo những góc tiếp tục là: góc B = góc C = 50^o, góc A = 130^o - góc C = 80^o

7. Một số bài xích tập luyện tự động luyện

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho tam giác cân nặng ABC cân nặng tại A có $\hat{A}$ = 50 . Tính số đo của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ .

A. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 50

B. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 60

C. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 65

D. $\hat{B}$ = $\hat{C}$ = 70

Câu 2: Cho tam giác MNP cân nặng tại M có $\hat{N}$ = 70 . Tính số đo của $\hat{M}$ . Câu nào tại đây đúng:

A.40

B.48

C.52

D.60

Câu 3: CHo tam giác ABC cân nặng tại A. lấy điểm M thuộc canh AB và N thuốc cjanh AC sao cho tới AM=AN. Gọi I là uỷ thác điểm của BN và CM. Câu nào tại đây sai:

A.BM=CN

B.BN=CM

C. Δ A M N là tam giác cân

D.A,B đúng, C sai

Câu 4: Với đề bài câu bên trên, tam giác BIC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B.Tam giác cân

C.Tam giác vuông cân

D.A,B,C đều sai

Câu 5: Cho tam giác ABC, về phía ngoài Δ A B C vẽ nhị tam giác đều ABH và ACK. So sánh đoạn thẳng BK và CH

A.BK=CH

B.BK<CH

C.BK>CH

Câu 6: Một tam giác cân nặng với góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc lòng bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Câu 7: Một tam giác cân nặng với góc ở lòng bởi 70° thì góc ở đỉnh bởi bao nhiêu?

A. 64°

B. 53°

C. 70°

D. 40°

B. Tự luận

Bài 1. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A với $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc B và C.

Bài 2. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A với $\widehat{A}=120^{\circ}$ . Tính số đo những góc B và C.

Bài 3. Cho $\Delta M N P$ cân nặng bên trên P.. với $\hat{P}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc $\mathrm{M} và \mathrm{N}.$

Bài 4. Cho $\triangle$ ABC vuông cân nặng bên trên A với . Tính số đo những góc B và C.

Bài 5. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A với $\hat{B}=30^{\circ}.$ Tính số đo những góc A và C.

Bài 6. Cho $\Delta M E F$ cân nặng tai $\mathrm{M} với \widehat{E}=70^{\circ}$ . Tính số đo những góc M và F

Bài 7. Cho $\Delta P.. Q R$ cân nặng tai Q với $\hat{R}=42^{\circ}$ . Tính số đo những góc P.. và Q

Bài 8. Cho $\triangle$ ABC vuông cân nặng bên trên A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho tới B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 9. Cho $\triangle A B C$ cân nặng bên trên A với $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Hai tia phân giác góc B và C tách nhau bên trên I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 10. Cho $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A với . Hai tia phân giác góc B và C tách nhau tai I, biết số đo $\widehat{B I C}=120^{\circ}$ . Tính số đo góc A.

Bài 11. Cho tam giác $\triangle$ ABC cân nặng bên trên A với $\widehat{\mathrm{A}}=80^{\circ}$ . Tia phân giác góc B tách AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H phía trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng những lối vuông góc xuống nhị cạnh Ox và Oy (A nằm trong Ox và B nằm trong Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A bên trên Oy, C là uỷ thác điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy bởi 60⁰, chứng tỏ OA = 2O

Bài 13: Cho ∆ABC cân nặng bên trên A và hai tuyến đường trung tuyến BM, công nhân tách nhau bên trên K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân bên trên K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 14: Cho ∆ ABC vuông bên trên A với BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là uỷ thác điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

Xem thêm: Vé máy bay đi Mỹ

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.